Determine se as séries abaixo convergem ou divergem. Dentre as que convergem, determine quais convergem absolutamente e quais convergem condicionalmente.
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(1)^{n} \sqrt{n}}{\ln n}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(1)^{n}\sqrt{n}}{\ln n}
que, como (1)^n=1 para todo n, fica
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{\sqrt{n}}{\ln n}.
O conteúdo aqui é teste de convergência de séries de termos não negativos; vamos usar o teste da divergência (condição necessária de convergência).

Passo 2

No teste da divergência, se \lim_{n\to\infty}a_n\neq0, a série \sum a_n diverge. Aqui
a_n=\frac{\sqrt{n}}{\ln n},
e como \sqrt{n} cresce muito mais rápido que \ln n, temos
\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n}}{\ln n}=\infty\neq0.

Passo 3

Como o termo geral não tende a zero, pela condição necessária de convergência a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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