Determine se as séries abaixo convergem ou divergem. Dentre as que convergem, determine quais convergem absolutamente e quais convergem condicionalmente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos ^{2} n}{n \sqrt{n}}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos^{2}n}{n\sqrt{n}}
e, caso ela convirja, identificar se é convergência absoluta ou condicional. O conteúdo principal aqui são testes de comparação para séries de termos não negativos.

Passo 2

Observamos que para todo n temos \cos^{2}n\ge0, de modo que os termos da série são não negativos e podemos usar o Teste da Comparação Direta com uma série p-série.

Passo 3

Como 0\le\cos^{2}n\le1, vale
0\;\le\;\frac{\cos^{2}n}{n\sqrt{n}}\;\le\;\frac{1}{n\sqrt{n}} =\frac{1}{n^{3/2}}.
Sabemos que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{3/2}}
é uma p-série com p=\tfrac{3}{2}>1, logo converge.

Passo 4

Pelo Teste da Comparação Direta, a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos^{2}n}{n\sqrt{n}}
converge. Como os termos são já não negativos, a convergência obtida é a mesma da convergência absoluta, pois
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl|\frac{\cos^{2}n}{n\sqrt{n}}\Bigr| =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos^{2}n}{n\sqrt{n}}<\infty.

Resposta

A série converge e converge absolutamente.

Exercícios relacionados