Determine se as séries abaixo convergem ou divergem. Dentre as que convergem, determine quais convergem absolutamente e quais convergem condicionalmente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1+n+n^{2}}{\sqrt{1+n^{2}+n^{6}}}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1 + n + n^{2}}{\sqrt{1 + n^{2} + n^{6}}}
ou seja, identificar se ela converge ou diverge, e em caso de convergência distinguir entre convergência absoluta ou condicional. Como todos os termos são positivos, basta ver se a soma é finita ou não.

Passo 2

Vamos analisar o comportamento de a_{n} = \frac{1 + n + n^{2}}{\sqrt{1 + n^{2} + n^{6}}} quando n\to\infty. Para isso, note que, para n grande,
– no numerador o termo dominante é n^{2},
– no denominador o termo dominante dentro da raiz é n^{6}, logo \sqrt{1 + n^{2} + n^{6}}\sim n^{3}.
Isto sugere que
a_{n}\sim \frac{n^{2}}{n^{3}} = \frac{1}{n}.

Passo 3

Aplicamos o teste da comparação limite com b_{n}=1/n. Calculamos
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1 + n + n^{2}}{\sqrt{1 + n^{2} + n^{6}}}}{\frac{1}{n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{n\,(1 + n + n^{2})}{\sqrt{1 + n^{2} + n^{6}}} =\lim_{n\to\infty}\frac{n^{3}\bigl(\tfrac1{n^{2}}+\tfrac1{n}+1\bigr)}{n^{3}\sqrt{\tfrac1{n^{6}}+\tfrac1{n^{4}}+1}} =1.
Como \sum b_{n}=\sum\frac{1}{n} é a série harmônica, que diverge, a comparação limite implica que \sum a_{n} também diverge.

Resposta

A série diverge.

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