Determine se as séries abaixo convergem ou divergem. Dentre as que convergem, determine quais convergem absolutamente e quais convergem condicionalmente.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
ou seja, identificar se ela converge ou diverge, e em caso de convergência distinguir entre convergência absoluta ou condicional. Como todos os termos são positivos, basta ver se a soma é finita ou não.
Passo 2
Vamos analisar o comportamento de
quando
. Para isso, note que, para
grande,
– no numerador o termo dominante é ,
– no denominador o termo dominante dentro da raiz é , logo
.
Isto sugere que
– no numerador o termo dominante é
– no denominador o termo dominante dentro da raiz é
Isto sugere que
Passo 3
Aplicamos o teste da comparação limite com
. Calculamos
Como
é a série harmônica, que diverge, a comparação limite implica que
também diverge.
Resposta
A série diverge.