Determine se as séries abaixo convergem ou divergem. Dentre as que convergem, determine quais convergem absolutamente e quais convergem condicionalmente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}}{e^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\bigl(1+\frac{1}{n}\bigr)^{n}}{e^{n}},
que é uma série de termos positivos. O conteúdo principal aqui é o Teste da raiz n-ésima, que nos dá condições de convergência absoluta para séries de termos não negativos.

Passo 2

Definimos o termo geral
a_{n} = \frac{\bigl(1+\tfrac{1}{n}\bigr)^{n}}{e^{n}}.
Como a_{n}\ge0 para todo n, a convergência da série \sum a_{n} equivale à convergência absoluta.

Passo 3

Aplicamos o Teste da raiz, que diz: se
L = \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_{n}}
satisfaz L<1, então a série converge absolutamente. Calculamos
\sqrt[n]{a_{n}} = \frac{\bigl(1+\tfrac{1}{n}\bigr)}{e},
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L = \lim_{n\to\infty} \frac{1+\tfrac{1}{n}}{e} = \frac{1}{e}.
Como \tfrac{1}{e}<1, o teste garante convergência absoluta.

Passo 4

Concluímos que a série converge e, sendo de termos não negativos, converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente.

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