Determine se as séries abaixo convergem ou divergem. Dentre as que convergem, determine quais convergem absolutamente e quais convergem condicionalmente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n!)^{2}}{(2 n)!}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n!)^{2}}{(2n)!}
Este é um problema de testes de convergência de séries numéricas. Como os termos são positivos, podemos usar o critério da razão para decidir convergência e, em seguida, falar de convergência absoluta.

Passo 2

Definimos
a_n = \frac{(n!)^{2}}{(2n)!}.
Pelo critério da razão, analisamos o limite
L = \lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}.

Passo 3

Calculamos
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\bigl((n+1)!\bigr)^{2}/(2n+2)!}{(n!)^{2}/(2n)!} = \frac{(n+1)^2\,(n!)^2}{(2n+2)(2n+1)\,(2n)!}\;\cdot\;\frac{(2n)!}{(n!)^2} = \frac{(n+1)^2}{(2n+2)(2n+1)}.
Simplificando,
\frac{(n+1)^2}{(2n+2)(2n+1)} = \frac{n+1}{2(2n+1)} \;\xrightarrow[n\to\infty]{}\;\frac14.
Logo, L = \tfrac14 < 1.

Passo 4

Como L<1, pelo critério da razão a série converge. Além disso, todos os termos a_n são positivos, portanto a convergência é automática para a série de valores absolutos. Em outras palavras, a série converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente.

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