Determine se as séries abaixo convergem ou divergem. Dentre as que convergem, determine quais convergem absolutamente e quais convergem condicionalmente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{5^{n}-2}{4^{n}+1}

Passo 1

O enunciado pede para determinar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{5^{n}-2}{4^{n}+1}
e, caso convergente, verificar se é absolutamente ou condicionalmente convergente. Vamos usar o teste da divergência (pois para uma série convergir é necessário que seu termo geral tenda a zero).

Passo 2

Defina
a_n = \frac{5^{n}-2}{4^{n}+1}.
Para que a série convirja, é preciso que
\lim_{n\to\infty}a_n = 0.
Calculemos esse limite observando o comportamento assintótico do numerador e do denominador:
5^n-2\sim 5^n, \qquad 4^n+1\sim 4^n,
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a_n = \frac{5^{n}-2}{4^{n}+1} \sim \frac{5^n}{4^n} =\Bigl(\frac{5}{4}\Bigr)^n.

Passo 3

Como \bigl(\tfrac54\bigr)^n\to\infty quando n\to\infty, segue que
\lim_{n\to\infty}a_n = \infty \neq 0.
Pelo teste da divergência, se o termo geral não tende a zero, a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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