Determine se as séries abaixo convergem ou divergem. Dentre as que convergem, determine quais convergem absolutamente e quais convergem condicionalmente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} \ln n}{n}

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{\ln n}{n}
e, caso converja, decidir se é convergente absolutamente ou apenas condicionalmente. Vamos usar o critério de séries alternantes (Leibniz) para a convergência e depois testar a série de termos positivos \sum \frac{\ln n}{n} para verificar a convergência absoluta.

Passo 2

Verificamos primeiro o comportamento dos termos
a_n = \frac{\ln n}{n}.
Temos
\lim_{n\to\infty}a_n = \lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n}.
Usando L’Hôpital (forma \frac{\infty}{\infty}), considere f(x)=\ln x e g(x)=x. Então
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x} =\lim_{x\to\infty}\frac{1/x}{1} =0.
Logo \lim_{n\to\infty}a_n=0.

Passo 3

Mostramos que a_n é eventualmente decrescente. Considere a função contínua
f(x)=\frac{\ln x}{x},\quad x>1.
Sua derivada é
f'(x) =\frac{\frac1x\cdot x-\ln x\cdot1}{x^2} =\frac{1-\ln x}{x^2}.
Para x>e temos \ln x>1, logo f'(x)<0. Isso significa que a_n=f(n) é decrescente a partir de n\ge 3.

Passo 4

Como a_n\to0 e a_n é decrescente para n grande, o critério de Leibniz garante que
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}a_n
converge.

Passo 5

Para checar convergência absoluta, analisamos
\sum_{n=1}^{\infty}\bigl|(-1)^n\tfrac{\ln n}{n}\bigr| =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln n}{n}.
Compare com a série harmônica: para n\ge 3, \ln n\ge 1 implica
\frac{\ln n}{n}\ge \frac{1}{n}.
Como \sum 1/n diverge, a comparação mostra que \sum (\ln n)/n também diverge. Portanto não há convergência absoluta.

Resposta

A série converge, mas não absolutamente; converge condicionalmente.

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