Determine se as séries abaixo convergem ou divergem. Dentre as que convergem, determine quais convergem absolutamente e quais convergem condicionalmente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+2 \ln n}

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{1+2\ln n}
com termos positivos, e pede para decidir se ela converge ou diverge.

Passo 2

Para comparar com a série harmônica, mostramos que a partir de n=4 vale
n \;\ge\; 1 + 2\ln n.
Defina g(n)=n-2\ln n-1. Então
g'(n)=1-\frac{2}{n}>0\quad\text{para }n>2,
e como g(4)=4-2\ln4-1=3-2\ln2>0, segue que g(n)>0 para todo n\ge4. Logo
1+2\ln n \;\le\; n \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{1+2\ln n}\;\ge\;\frac{1}{n} \quad\text{para }n\ge4.

Passo 3

Como \sum_{n=4}^{\infty}\frac1n diverge (é a cauda da série harmônica), e
\displaystyle \frac1{1+2\ln n}\ge\frac1n para n\ge4, concluímos pela comparação que
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac1{1+2\ln n} diverge.

Resposta

A série diverge.

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