Determine se as séries abaixo convergem ou divergem. Dentre as que convergem, determine quais convergem absolutamente e quais convergem condicionalmente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^{\frac{1}{n}}}{n^{2}}

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^{\frac{1}{n}}}{n^{2}}
e pede para determinar se ela converge ou diverge, e, em caso de convergência, verificar se é absoluta ou condicional. O conteúdo necessário é teste de convergência para séries de termos positivos, em particular o teste da comparação limite ou comparação direta com uma série-p.

Passo 2

Note que, para todo n\ge1, temos
a_{n} = \frac{e^{\frac{1}{n}}}{n^{2}}>0.
Como os termos são não negativos, basta mostrar convergência absoluta (que aqui coincide com convergência comum) usando um teste de comparação.

Passo 3

Tomemos como série de referência
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}},
que é conhecida como série- p com p=2>1 e, portanto, converge. Aplicamos o teste da comparação limite entre a_{n} e b_{n}=1/n^{2}.

Passo 4

Calculamos
L = \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}} = \lim_{n\to\infty}\frac{\displaystyle \frac{e^{\frac{1}{n}}}{n^{2}}}{\displaystyle \frac{1}{n^{2}}} = \lim_{n\to\infty} e^{\frac{1}{n}} = e^{0} = 1.
Como 0 < L < \infty e \sum b_{n}=\sum 1/n^{2} converge, concluímos que \sum a_{n} também converge.

Resposta

A série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^{\frac{1}{n}}}{n^{2}}
converge absolutamente.

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