Determine se as séries abaixo convergem ou divergem. Dentre as que convergem, determine quais convergem absolutamente e quais convergem condicionalmente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} \sqrt{2 n-1}}{n}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}\sqrt{2n-1}}{n}
e, entre as que convergem, identificar quais são absolutamente convergentes ou apenas condicionalmente convergentes. Vamos usar o teste de convergência absoluta (comparação com série p) e o critério de Leibniz para séries alternadas.

Passo 2

Para verificar a convergência absoluta, consideramos a série dos valores absolutos
\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n+1}\sqrt{2n-1}}{n}\right| =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt{2n-1}}{n}.
Para n grande, \sqrt{2n-1}\sim\sqrt{2n}, logo
\frac{\sqrt{2n-1}}{n}\sim\sqrt{2}\,\frac{1}{\sqrt{n}},
e a comparação com uma série p de expoente p=\tfrac12<1 mostra que ela diverge. Portanto, a série original não converge absolutamente.

Passo 3

Para testar a convergência condicional aplicamos o critério de Leibniz à série alternada cujo termo positivo é
b_n = \frac{\sqrt{2n-1}}{n}.
Precisamos verificar:
(i) \lim_{n\to\infty}b_n=0. De fato,
\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{2n-1}}{n} =\lim_{n\to\infty}\sqrt{\frac{2n-1}{n^2}} =\lim_{n\to\infty}\sqrt{\frac{2}{n}-\frac{1}{n^2}} =0.
(ii) b_{n+1}\le b_n para todo n. Compare-se
b_{n+1}=\frac{\sqrt{2n+1}}{\,n+1\,} \quad\text{e}\quad b_n=\frac{\sqrt{2n-1}}{n},
e note que
\frac{2n+1}{(n+1)^2}\le\frac{2n-1}{n^2}
é equivalente a
(2n+1)n^2 \le (2n-1)(n+1)^2,
que, após expandir, fica
2n^3+n^2 \le 2n^3+3n^2-1 \quad\Longleftrightarrow\quad 2n^2-1\ge0
para todo n\ge1. Assim b_{n+1}\le b_n, e o critério de Leibniz garante que a série alternada converge.

Resposta

A série não converge absolutamente e converge condicionalmente.

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