Determine se as séries abaixo convergem ou divergem. Dentre as que convergem, determine quais convergem absolutamente e quais convergem condicionalmente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} n}{2^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série alternante
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\,\frac{n}{2^{n}}
e, caso ela converja, decidir se a convergência é absoluta ou condicional. Vamos usar o teste da razão para a convergência absoluta e, se necessário, o critério de Leibniz para alternantes.

Passo 2

Analisamos a convergência absoluta calculando
\sum_{n=1}^{\infty}\biggl|\;(-1)^{n+1}\,\frac{n}{2^{n}}\biggr| =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^{n}}.
Aplicamos o teste da razão de D’Alembert a b_n=\tfrac{n}{2^n}:
L=\lim_{n\to\infty}\frac{b_{n+1}}{b_n} =\lim_{n\to\infty}\frac{\tfrac{n+1}{2^{n+1}}}{\tfrac{n}{2^n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{2n} =\frac12.
Como L=\tfrac12<1, a série \sum b_n converge.

Passo 3

A convergência de \sum b_n implica que
\sum(-1)^{n+1}\tfrac{n}{2^n} converge absolutamente. Logo não há apenas convergência condicional, mas sim convergência absoluta.

Resposta

A série converge absolutamente.

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