Determine se as séries abaixo convergem ou divergem. Dentre as que convergem, determine quais convergem absolutamente e quais convergem condicionalmente.
\sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série
\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(1+\tfrac{1}{n}\bigr)^{n^{2}}
O conteúdo principal é estudar convergência de séries a partir do comportamento assintótico do termo geral. Vamos precisar verificar se o termo geral tende a zero; se não tender, a série diverge automaticamente pelo teste da divergência.

Passo 2

Estudamos o comportamento de
a_{n} = \bigl(1+\tfrac{1}{n}\bigr)^{n^{2}}.
Para isso, calculamos o logaritmo natural e usamos expansão em série de Taylor de \ln(1+x) em x=1/n:
\ln a_{n} = n^{2}\,\ln\!\bigl(1+\tfrac{1}{n}\bigr) \sim n^{2}\Bigl(\tfrac{1}{n}-\tfrac{1}{2n^{2}}+\cdots\Bigr) = n - \tfrac12 + o(1).
Então, para n grande,
a_{n} = e^{\ln a_{n}} \sim e^{\,n-\tfrac12} = e^{-\tfrac12}\,e^{n},
ou seja, a_{n} cresce exponencialmente como e^{n}.

Passo 3

Como \lim_{n\to\infty}a_{n} = +\infty (em particular não tende a zero), o critério fundamental diz que a série
\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}
não pode convergir.

Resposta

A série diverge.

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