Determine se as séries abaixo convergem ou divergem. Dentre as que convergem, determine quais convergem absolutamente e quais convergem condicionalmente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{n}}{n!3^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série de termos positivos
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{n}}{n!\,3^{n}}.
Como todos os termos são positivos, basta verificar se ela converge (e nesse caso ela também converge absolutamente).

Passo 2

Aplicamos o teste da razão. Definindo
a_n = \frac{n^n}{n!\,3^n},
calculamos
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!\,3^{n+1}}}{\frac{n^n}{n!\,3^n}} = \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!\,3^{n+1}}\;\frac{n!\,3^n}{n^n}.

Passo 3

Simplificando fator a fator, obtemos
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)\,n^n}\;\frac{1}{3} = \frac{(n+1)^n}{n^n}\;\frac{1}{3} = \frac{\bigl(1+\tfrac1n\bigr)^n}{3}.

Passo 4

Tomando o limite quando n\to\infty,
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{e}{3},
pois \lim_{n\to\infty}(1+1/n)^n = e. Como
\frac{e}{3} < 1,
o teste da razão garante que a série converge.

Passo 5

Sendo uma série de termos positivos que converge, ela também converge absolutamente. Não há convergência condicional nesse caso.

Resposta

A série converge e, como todos os termos são não negativos, ela converge absolutamente.

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