Determine se as séries abaixo convergem ou divergem. Dentre as que convergem, determine quais convergem absolutamente e quais convergem condicionalmente.
\sum_{n=4}^{\infty} \frac{3}{n^{2}-3 n}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série de termos positivos
\sum_{n=4}^{\infty} \frac{3}{n^{2}-3n}
e, em caso de convergência, verificar se é convergência absoluta ou condicional. Vamos usar decomposição em frações parciais e o teste da série telescópica.

Passo 2

Fazemos a decomposição
\frac{3}{n^{2}-3n} =\frac{3}{n(n-3)}
e buscamos constantes A\) e \(B\) tais que \[\frac{3}{n(n-3)}=\frac{A}{n}+\frac{B}{n-3}.
Multiplicando por n(n-3) vem
3 = A(n-3)+Bn = (A+B)n -3A.
Comparando coeficientes obtemos o sistema
\begin{cases} A+B = 0,\\\\ -3A = 3. \end{cases}
Logo A=-1\] e \(B=1. Portanto
\frac{3}{n^{2}-3n} =-\frac{1}{n}+\frac{1}{n-3}.

Passo 3

Escrevemos a soma parcial até N:
S_{N}=\sum_{n=4}^{N}\Bigl(-\frac{1}{n}+\frac{1}{n-3}\Bigr) =\sum_{n=4}^{N}\frac{1}{n-3}-\sum_{n=4}^{N}\frac{1}{n}.
Fazendo a mudança de índice no primeiro somatório ( k=n-3)
\sum_{n=4}^{N}\frac{1}{n-3} =\sum_{k=1}^{N-3}\frac{1}{k} =H_{N-3},
e no segundo
\sum_{n=4}^{N}\frac{1}{n} =H_{N}-\Bigl(1+\tfrac12+\tfrac13\Bigr) =H_{N}-H_{3}.
Assim
S_{N}=H_{N-3}-\bigl(H_{N}-H_{3}\bigr) =H_{3}+\bigl(H_{N-3}-H_{N}\bigr).

Passo 4

Como H_{N-3}-H_{N}\to0 quando N\to\infty, o limite da soma parcial é finito:
\lim_{N\to\infty}S_{N}=H_{3}=1+\tfrac12+\tfrac13=\tfrac{11}{6}.
Logo a série converge.

Passo 5

Como todos os termos 3/(n^2-3n) são positivos, convergência normal implica convergência absoluta. Não há caso de convergência condicional.

Resposta

A série converge e, por ter termos positivos, converge absolutamente.

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