Determine se as séries abaixo convergem ou divergem. Dentre as que convergem, determine quais convergem absolutamente e quais convergem condicionalmente.
\sum_{n=0}^{\infty}\left[-\frac{1}{1,07}\right]^{n} n^{7}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
\sum_{n=0}^{\infty}\left[-\frac{1}{1,07}\right]^{n}n^{7}
e, se convergente, decidir se é absolutamente ou condicionalmente convergente. O conteúdo principal aqui é o teste da razão aplicado ao valor absoluto dos termos.

Passo 2

Definimos
a_n = \left(-\frac{1}{1,07}\right)^{n}n^{7}
e analisamos
|a_n| = \left(\frac{1}{1,07}\right)^{n}n^{7}.
Pelo teste da razão, consideramos
L = \lim_{n\to\infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} = \lim_{n\to\infty} \frac{\bigl(\tfrac{1}{1,07}\bigr)^{n+1}(n+1)^{7}} {\bigl(\tfrac{1}{1,07}\bigr)^{n}n^{7}} = \frac{1}{1,07}\lim_{n\to\infty}\Bigl(\frac{n+1}{n}\Bigr)^{7}.

Passo 3

Como
\lim_{n\to\infty}\Bigl(\frac{n+1}{n}\Bigr)^{7} =1,
segue
L = \frac{1}{1,07}<1.
Logo \sum|a_n| converge pelo teste da razão, o que implica que a série original converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente.

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