Determine se as séries abaixo convergem ou divergem. Dentre as que convergem, determine quais convergem absolutamente e quais convergem condicionalmente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos (n \pi)}{\sqrt[n]{e}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(n\pi)}{\sqrt[n]{e}}
converge ou diverge, e em caso de convergência, se é absoluta ou condicional. Precisaremos usar o teste do termo geral para séries numéricas.

Passo 2

Note que \cos(n\pi)=(-1)^n e \sqrt[n]{e}=e^{1/n}. Assim o termo geral da série é
a_n = \frac{\cos(n\pi)}{\sqrt[n]{e}} = (-1)^n e^{-1/n}.
Para que uma série \sum a_n possa convergir, é necessário que \lim_{n\to\infty}a_n=0. Vamos verificar
\lim_{n\to\infty}|a_n| = \lim_{n\to\infty} e^{-1/n} = e^0 = 1.
Como \lim_{n\to\infty}a_n não é zero (na verdade oscila entre valores de módulo próximo a 1), pelo teste do termo geral a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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