Determine se as séries abaixo convergem ou divergem. Dentre as que convergem, determine quais convergem absolutamente e quais convergem condicionalmente.
\sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{100}{n^{2}}\right)^{n^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(1-\tfrac{100}{n^{2}}\bigr)^{n^{2}}.
O conteúdo aqui é o teste da divergência (ou critério da forma geral): se o termo geral não tende a zero, a série diverge.

Passo 2

Seja
a_{n} = \bigl(1-\tfrac{100}{n^{2}}\bigr)^{n^{2}}.
Usamos o limite conhecido
\lim_{m\to\infty}\Bigl(1+\tfrac{a}{m}\Bigr)^{m}=e^{a}.
Aqui basta tomar m=n^{2} e a=-100. Assim
\lim_{n\to\infty}a_{n} =\lim_{n\to\infty}\Bigl(1-\tfrac{100}{n^{2}}\Bigr)^{n^{2}} =e^{-100}\neq 0.

Passo 3

Como \lim_{n\to\infty}a_{n}=e^{-100}\neq 0, o termo geral não tende a zero. Pelo teste da divergência, a série
\sum_{n=1}^{\infty}a_{n} diverge.

Resposta

A série diverge.

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