Determine se as séries abaixo convergem ou divergem. Dentre as que convergem, determine quais convergem absolutamente e quais convergem condicionalmente.
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{0,98^{n} n^{111}}{\ln n}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{0,98^{n}\,n^{111}}{\ln n}
Isso é conteúdo de séries numéricas, e como os termos são positivos, podemos usar o teste da razão (ou o teste da raiz) para verificar convergência absoluta.

Passo 2

Aplicamos o teste da razão. Denotando
a_n = \frac{0,98^{n}\,n^{111}}{\ln n},
calculamos o quociente \frac{a_{n+1}}{a_n}:

Passo 3

Temos
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{0,98^{\,n+1}\,(n+1)^{111}/\ln(n+1)}{0,98^{\,n}\,n^{111}/\ln n} = 0,98\;\frac{(n+1)^{111}}{n^{111}}\;\frac{\ln n}{\ln(n+1)}.
Para n\to\infty,
\bigl((n+1)/n\bigr)^{111}\to1 e \ln n/\ln(n+1)\to1.
Logo
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} = 0,98 < 1.

Passo 4

Como o limite da razão é menor que 1, pela convergência do teste da razão, a série \sum a_n converge absolutamente.

Resposta

A série converge e, como os termos são positivos e o teste da razão dá limite 0,98<1, ela converge absolutamente.

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