Determine se as séries abaixo convergem ou divergem. Dentre as que convergem, determine quais convergem absolutamente e quais convergem condicionalmente.
\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{1}{\ln (n+2)}-\frac{1}{\ln (n+1)}\right]

Passo 1

Estamos com a série
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl[\frac{1}{\ln(n+2)}-\frac{1}{\ln(n+1)}\Bigr].
O conteúdo envolve séries numéricas, em especial séries telescópicas, e teste de convergência absoluta.

Passo 2

Repare que o termo geral pode ser escrito como diferença telescópica. Definindo
a_n = \frac{1}{\ln(n+2)}-\frac{1}{\ln(n+1)},
o somatório parcial até N é
S_N = \sum_{n=1}^{N}a_n = \sum_{n=1}^{N}\Bigl[\frac{1}{\ln(n+2)}-\frac{1}{\ln(n+1)}\Bigr].
Ao expandir temos muitos cancelamentos.

Passo 3

Fazendo o telescópio, sobram apenas as primeiras e últimas parcelas:
S_N = \frac{1}{\ln(N+2)} - \frac{1}{\ln(2)}.
Quando N\to\infty, \ln(N+2)\to\infty e, portanto,
\lim_{N\to\infty}S_N = 0 - \frac{1}{\ln(2)} = -\frac{1}{\ln(2)}.
Logo a série converge (condicionada ao valor finito de S_N).

Passo 4

Para verificar convergência absoluta, analisamos
|a_n| = \Bigl|\frac{1}{\ln(n+2)}-\frac{1}{\ln(n+1)}\Bigr|.
Para n grande, use aproximação por derivada de f(x)=1/\ln x:
f'(x) = -\frac{1}{x(\ln x)^2},
então
|a_n|\sim \frac{1}{(n+1)[\ln(n+1)]^2}.
E sabemos que a série
\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n(\ln n)^2}
converge (teste da integral ou p-log). Como |a_n| é comparável a esse termo convergente, concluímos que \sum |a_n| converge.

Resposta

A série converge, e de fato converge absolutamente.

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