Determine se as séries abaixo convergem ou divergem. Dentre as que convergem, determine quais convergem absolutamente e quais convergem condicionalmente.
Passo 1
Estamos com a série
O conteúdo envolve séries numéricas, em especial séries telescópicas, e teste de convergência absoluta.
Passo 2
Repare que o termo geral pode ser escrito como diferença telescópica. Definindo
o somatório parcial até
é
Ao expandir temos muitos cancelamentos.
Passo 3
Fazendo o telescópio, sobram apenas as primeiras e últimas parcelas:
Quando
,
e, portanto,
Logo a série converge (condicionada ao valor finito de
).
Passo 4
Para verificar convergência absoluta, analisamos
Para
grande, use aproximação por derivada de
:
então
E sabemos que a série
converge (teste da integral ou p-log). Como
é comparável a esse termo convergente, concluímos que
converge.
Resposta
A série converge, e de fato converge absolutamente.