Determine se as séries abaixo convergem ou divergem. Dentre as que convergem, determine quais convergem absolutamente e quais convergem condicionalmente.
\sum_{n=1}^{\infty} \ln \left(\frac{n}{2 n+1}\right)

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \ln\Bigl(\frac{n}{2n+1}\Bigr).
O conteúdo principal aqui é o teste da divergência: se o termo geral de uma série não tende a zero, a série diverge.

Passo 2

Vamos calcular
a_n = \ln\Bigl(\frac{n}{2n+1}\Bigr).
Note que
\frac{n}{2n+1} = \frac{1}{2 + 1/n},
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a_n = \ln\!\bigl(1/(2+1/n)\bigr) = -\ln\bigl(2 + 1/n\bigr).
Quando n\to\infty, temos 2 + 1/n \to 2, então
\lim_{n\to\infty} a_n = -\ln(2) \neq 0.
Pelo teste da divergência (ou critério da n–ésima parcela), como \lim_{n\to\infty}a_n\neq 0, a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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