Determine se as séries abaixo convergem ou divergem. Dentre as que convergem, determine quais convergem absolutamente e quais convergem condicionalmente.
\sum_{n=1}^{\infty}(\sqrt[n]{2}-1)^{n}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(\sqrt[n]{2}-1\bigr)^{n}.
O que queremos saber é se ela converge ou diverge e, se convergir, se é convergência absoluta ou condicional. Para isso vamos usar o Teste da raiz, que afirma: se
L \;=\;\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\lvert a_{n}\rvert}
satisfaz L<1, então a série \sum a_{n} converge absolutamente; se L>1, diverge; se L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 2

No nosso caso a_{n}=(\sqrt[n]{2}-1)^{n} é sempre não negativo, então
\sqrt[n]{\lvert a_{n}\rvert} =\sqrt[n]{(\sqrt[n]{2}-1)^{n}} =\sqrt[n]{2}-1.

Passo 3

Calculamos o limite
\lim_{n\to\infty}\bigl(\sqrt[n]{2}-1\bigr) =\lim_{n\to\infty}\bigl(e^{\frac{\ln2}{n}}-1\bigr) =\lim_{n\to\infty}\frac{\ln2}{n}+\mathrm{o}\bigl(\tfrac1n\bigr) =0.

Passo 4

Como o valor L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\lvert a_{n}\rvert}=0 satisfaz 0<1, pelo Teste da raiz a série converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente.

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