Determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
(h) sumn=1^infty n^22 cdot 4 cdot 6 cdot ldots cdot(2 n);

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência de
sumn=1^infty n^22cdot4cdot6cdots(2n)
O conteúdo é testes de convergência de séries numéricas e vamos usar o teste da razão. Para isso, é útil reescrever o termo geral de forma mais simples.

Passo 2

Observamos que
2cdot4cdot6cdots(2n) =prodk=1^n2k =2^n,n!
Logo o termo geral pode ser escrito como
an=n^22^n,n!

Passo 3

Aplicando o teste da razão, escrevemos
an+1=(n+1)^22^n+1(n+1)!, an=n^22^n n!
Em seguida, dividindo termo a termo, obtemos
an+1an =(n+1)^2n^2cdot2^n2^n+1cdotn!(n+1)! =n+12,n^2

Passo 4

Calculamos o limite
L=limntoinftyan+1an =limntoinftyn+12,n^2 =0<1
Como L<1, pelo teste da razão a série converge absolutamente e, portanto, converge.

Resposta

A série converge.

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