Resolva, usando o método dos coeficientes a determinar:
y^prime prime+2 y^prime+2 y=x^2+sen x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem
y'' + 2y' + 2y = x^2 + sin x
usando o método dos coeficientes a determinar. Precisamos de dois ingredientes: a solução geral da homogênea associada e uma solução particular para o termo não homogêneo x^2 + sin x.

Passo 2

Começamos pela equação homogênea
y'' + 2y' + 2y = 0
A equação característica é
r^2 + 2r + 2 = 0,
cuja solução é
r = -2 pm raiz4 - 82 = -1 pm i
Logo a solução geral da homogênea é
yh(x) = e^-xl(C1cos x + C2sin xr)

Passo 3

Para a parte não homogênea x^2 + sin x propomos uma soma de dois “tentativas”: uma para o polinômio x^2 e outra para sin x. Assim
yp(x) = ax^2 + bx + c ;+; Asin x + Bcos x,
onde a,b,c,A,B são constantes a determinar.

Passo 4

Calculamos as derivadas de yp:
yp' = 2ax + b + Acos x - Bsin x,
yp'' = 2a - Asin x - Bcos x
Substituindo em y''+2y'+2y, obtemos
&l(2a - Asin x - Bcos xr) +2l(2ax + b + Acos x - Bsin xr) &+2l(ax^2 + bx + c + Asin x + Bcos xr)
Reagrupando termos polinomiais e trigonométricos, isso dá
2a,x^2 + (4a+2b)x + (2a+2b+2c) + (A-2B)sin x + (2A+B)cos x

Passo 5

Como a soma acima deve ser igual a x^2 + sin x, igualamos coeficientes:
Para o polinômio
2a = 1, 4a + 2b = 0, 2a + 2b + 2c = 0,
e para os termos trigonométricos
A - 2B = 1, 2A + B = 0

Passo 6

Resolvendo o sistema polinomial:
a = tfrac12, 4cdottfrac12 +2b=0implies b=-1, 2cdottfrac12 +2(-1)+2c=0implies c=tfrac12
E o sistema trigonométrico:
2A + B=0implies B=-2A, A -2(-2A)=1implies 5A=1implies A=tfrac15,;B=-tfrac25

Passo 7

Então a solução particular é
yp(x) = tfrac12x^2 - x + tfrac12 + tfrac15sin x - tfrac25cos x
A solução geral da equação não homogênea é
y(x) = yh(x) + yp(x) = e^-xl(C1cos x + C2sin xr) + tfrac12x^2 - x + tfrac12 + tfrac15sin x - tfrac25cos x

Resposta

y(x) = e^-xl(C1cos x + C2sin xr) + tfrac12x^2 - x + tfrac12 + tfrac15sin x - tfrac25cos x

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