Resolva, usando o método dos coeficientes a determinar:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem
usando o método dos coeficientes a determinar. Precisamos de dois ingredientes: a solução geral da homogênea associada e uma solução particular para o termo não homogêneo
.
Passo 2
Começamos pela equação homogênea
A equação característica é
cuja solução é
Logo a solução geral da homogênea é
Passo 3
Para a parte não homogênea
propomos uma soma de dois “tentativas”: uma para o polinômio
e outra para
. Assim
onde
são constantes a determinar.
Passo 4
Calculamos as derivadas de
:
Substituindo em
, obtemos
Reagrupando termos polinomiais e trigonométricos, isso dá
Passo 5
Como a soma acima deve ser igual a
, igualamos coeficientes:
Para o polinômio
Para o polinômio
e para os termos trigonométricos
Passo 6
Resolvendo o sistema polinomial:
E o sistema trigonométrico:
Passo 7
Então a solução particular é
A solução geral da equação não homogênea é