Resolva, usando o método dos coeficientes a determinar:
y^prime prime prime-y^prime prime-4 y^prime+4 y=2 x^2-4 x-12 x^2 e^2 x+5 x e^2 x+e^2 x

Passo 1

Resumo do enunciado: precisamos resolver a equação
y''' - y'' - 4y' + 4y = 2x^2 - 4x ;-;12x^2e^2x +5x e^2x + e^2x
O conteúdo é EDO linear de coeficientes constantes e o método dos coeficientes a determinar. Vamos obter primeiro a solução geral da homogênea e depois duas partes particulares: uma para o polinômio 2x^2-4x e outra para o termo com e^2x.

Passo 2

Equação característica da homogênea:
r^3 - r^2 -4r +4 =0
Testando r=1 obtemos raiz, e dividindo por (r-1) sobra
r^2 -4=0Longrightarrow r=2,;-2
Logo a solução homogênea é
yh = C1e^x + C2e^2x + C3e^-2x

Passo 3

Parte particular para o polinômio 2x^2-4x. Proponho
ypa = Ax^2 + Bx + C
Então
ypa'=2Ax+B, ypa''=2A, ypa'''=0,
e aplicando o operador
L[ypa]=ypa'''-ypa''-4ypa'+4ypa =-2A -4(2Ax+B)+4(Ax^2+Bx+C)
Isso gera
4A,x^2 +(-8A+4B),x +(-2A-4B+4C) equiv 2x^2 -4x +0
Comparando coeficientes:
4A=2 Rightarrow A=tfrac12, -8A+4B=-4 Rightarrow B=0, -2A-4B+4C=0 Rightarrow C=tfrac14
Logo
ypa = tfrac12x^2 + tfrac14

Passo 4

Parte particular para -12x^2e^2x+5x e^2x+e^2x. Como r=2 é raiz simples da característica, tiro fator x. Proponho
ypb = e^2x,x,(Dx^2+Ex+F) = e^2x(D x^3 + E x^2 + F x)
Usando as fórmulas
y = e^2xU, y' = e^2x(U'+2U), y'' = e^2x(U''+4U'+4U), y''' = e^2x(U'''+6U''+12U'+8U),
com U=D x^3+E x^2+F x, ao calcular
L[ypb] = e^2xl(12D,x^2 + (30D+8E),x + (6D+10E+4F)r)
devemos igualar a
-12x^2 +5x +1

Passo 5

Igualando coeficientes do polinômio dentro de e^2x:
12D = -12, 30D+8E=5, 6D+10E+4F=1
Daí
D=-1, 30(-1)+8E=5;Rightarrow;E=tfrac358, 6(-1)+10cdottfrac358+4F=1;Rightarrow;F=-tfrac14716
Portanto
ypb = e^2xl(-x^3 + tfrac358x^2 - tfrac14716xr)

Passo 6

A solução geral é
y = yh + ypa + ypb = C1e^x + C2e^2x + C3e^-2x + tfrac12x^2 + tfrac14 + e^2xl(-x^3 + tfrac358x^2 - tfrac14716xr)

Resposta

boxed y = C1e^x + C2e^2x + C3e^-2x + tfrac12x^2 + tfrac14 + e^2xl(-x^3 + tfrac358x^2 - tfrac14716xr)

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