Determine se as séries abaixo convergem ou divergem. Justifique rigorosamente suas respostas.
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(\ln n)^{2}+1}

Passo 1

O enunciado nos dá a série de termos positivos
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(\ln n)^{2}+1}
e pede para determinar se ela converge ou diverge, com justificativa rigorosa.
Informações relevantes fornecidas:
  • Os termos da série são a_n=\dfrac{1}{n(\ln n)^{2}+1} para n\ge 2.
  • Cada a_n>0.
A pergunta é única: decidir convergência ou divergência da série e justificar.

Passo 2

Ideia do método (explicada como se eu estivesse te guiando na prova): comparar a_n com uma série conhecida cuja convergência é conhecida. Uma escolha natural é comparar com a série
b_n=\frac{1}{n(\ln n)^{2}},
pois para grandes n a constante +1 no denominador de a_n é desprezível e intuitivamente a_n tem o mesmo comportamento assintótico que b_n.
Vou usar o Teste da Comparação Limite (ou, alternativamente, Comparação direta) para tornar isso rigoroso.
Enunciado do Teste da Comparação Limite (versão curta e prática): se a_n>0, b_n>0 e
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L
com 0<L<\infty, então \sum a_n converge se, e somente se, \sum b_n converge.

Passo 3

Calcular o limite de comparação entre a_n e b_n. Temos
\frac{a_n}{b_n}=\frac{\dfrac{1}{n(\ln n)^{2}+1}}{\dfrac{1}{n(\ln n)^{2}}} =\frac{n(\ln n)^{2}}{\,n(\ln n)^{2}+1\,}.
Tomando limite quando n\to\infty,
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} =\lim_{n\to\infty}\frac{n(\ln n)^{2}}{n(\ln n)^{2}+1}=1.
Portanto o limite L existe e é 1 (que é finito e positivo). Pelo Teste da Comparação Limite, \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento: ou ambas convergem, ou ambas divergem. Assim basta analisar a série \sum b_n=\sum_{n=2}^{\infty}\dfrac{1}{n(\ln n)^{2}}.

Passo 4

Analisar a série \displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n(\ln n)^{2}}. Vou usar o Teste da Integral, que é prático aqui.
Enunciado do Teste da Integral (versão prática): se f(x) é contínua, positiva e decrescente para x\ge X e a_n=f(n), então \sum_{n=N}^{\infty} a_n converge se, e somente se, a integral imprópria \displaystyle\int_{X}^{\infty} f(x)\,dx converge.
Considere a função
f(x)=\frac{1}{x(\ln x)^{2}},\qquad x>1.
Observações:
  • Para x>1 temos \ln x>0, então f(x)>0.
  • A derivada de f é
f'(x)=-\frac{\ln x + 2}{x^{2}(\ln x)^{3}},
então f'(x)<0 para todo x>1. Logo f é decrescente para x>1.
  • Assim as hipóteses do Teste da Integral são satisfeitas (por exemplo para x\ge 2).
Calcule a integral imprópria:
fazer a substituição \,u=\ln x, então du=\dfrac{dx}{x}. Assim
\int_{2}^{\infty}\frac{1}{x(\ln x)^{2}}\,dx =\int_{\ln 2}^{\infty}\frac{1}{u^{2}}\,du.
A integral à direita é elementar:
\int_{\ln 2}^{\infty}\frac{1}{u^{2}}\,du =\left[-\frac{1}{u}\right]_{u=\ln 2}^{u=\infty} =\frac{1}{\ln 2}<\infty.
Como a integral converge, pelo Teste da Integral a série
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n(\ln n)^{2}}
converge.

Passo 5

Conclusão final usando o resultado do Passo 3 e do Passo 4: como \sum b_n converge e \lim_{n\to\infty} a_n/b_n=1 com limite positivo e finito, pelo Teste da Comparação Limite a série original
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n(\ln n)^{2}+1}
também converge.
Um comentário amigo para te incentivar: o passo-chave é reconhecer que a presença do +1 no denominador não altera o comportamento assintótico — a série se comporta como \sum 1/(n(\ln n)^{2}), e o expoente 2 no \ln é suficiente para garantir convergência. Vai dar tudo certo na prova!

Resposta

A série converge.

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