Determine se as séries abaixo convergem ou divergem. Justifique rigorosamente suas respostas.
Passo 1
O enunciado nos dá a série de termos positivos
e pede para determinar se ela converge ou diverge, com justificativa rigorosa.
Informações relevantes fornecidas:
- Os termos da série são
para . - Cada
.
A pergunta é única: decidir convergência ou divergência da série e justificar.
Passo 2
Ideia do método (explicada como se eu estivesse te guiando na prova): comparar
com uma série conhecida cuja convergência é conhecida. Uma escolha natural é comparar com a série
pois para grandes
a constante
no denominador de
é desprezível e intuitivamente
tem o mesmo comportamento assintótico que
.
Vou usar o Teste da Comparação Limite (ou, alternativamente, Comparação direta) para tornar isso rigoroso.
Enunciado do Teste da Comparação Limite (versão curta e prática): se
,
e
com
, então
converge se, e somente se,
converge.
Passo 3
Calcular o limite de comparação entre
e
. Temos
Tomando limite quando
,
Portanto o limite
existe e é
(que é finito e positivo). Pelo Teste da Comparação Limite,
e
têm o mesmo comportamento: ou ambas convergem, ou ambas divergem. Assim basta analisar a série
.
Passo 4
Analisar a série
. Vou usar o Teste da Integral, que é prático aqui.
Enunciado do Teste da Integral (versão prática): se
é contínua, positiva e decrescente para
e
, então
converge se, e somente se, a integral imprópria
converge.
Considere a função
Observações:
- Para
temos , então . - A derivada de
é
então
para todo
. Logo
é decrescente para
.
- Assim as hipóteses do Teste da Integral são satisfeitas (por exemplo para
).
Calcule a integral imprópria:
fazer a substituição , então
. Assim
fazer a substituição
A integral à direita é elementar:
Como a integral converge, pelo Teste da Integral a série
converge.
Passo 5
Conclusão final usando o resultado do Passo 3 e do Passo 4: como
converge e
com limite positivo e finito, pelo Teste da Comparação Limite a série original
também converge.
Um comentário amigo para te incentivar: o passo-chave é reconhecer que a presença do
no denominador não altera o comportamento assintótico — a série se comporta como
, e o expoente
no
é suficiente para garantir convergência. Vai dar tudo certo na prova!
Resposta
A série converge.