Determine se as séries abaixo convergem ou divergem. Justifique rigorosamente suas respostas.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}+1}{n^{3}+n}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{2}+1}{n^{3}+n}
converge ou diverge, e exige justificativa rigorosa.
Informações dadas:
  • A soma é uma série numérica infinita cujo termo geral é \dfrac{n^{2}+1}{n^{3}+n}.
  • A soma começa em n=1 e segue para n\to\infty.

Passo 2

Vamos simplificar o termo geral algébrica e exatamente (sem estimativas ainda).
Observe que o denominador pode ser fatorado com n em evidência:
n^{3}+n = n\bigl(n^{2}+1\bigr).
Logo o termo geral é
\frac{n^{2}+1}{n^{3}+n}=\frac{n^{2}+1}{n\bigl(n^{2}+1\bigr)}.
Como n^{2}+1\neq 0 para todo n\ge 1, podemos cancelar esse fator, obtendo
\frac{n^{2}+1}{n^{3}+n}=\frac{1}{n}\quad\text{para todo }n\ge 1.
(Explicação didática: cancelar significa dividir numerador e denominador pelo mesmo fator diferente de zero. Aqui o fator comum é n^{2}+1.)

Passo 3

Pelo passo anterior, a série dada coincide exatamente com a série harmônica:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{2}+1}{n^{3}+n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}.
Portanto basta analisar a convergência da série \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}.

Passo 4

Lembrar (e provar) que a série harmônica \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n} diverge. Uma prova elementar por agrupamento:
Considere as somas parciais até 2^{m}:
S_{2^{m}}=\sum_{n=1}^{2^{m}}\frac{1}{n}.
Agrupando os termos em blocos de tamanho dobrado:
S_{2^{m}} = 1 + \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right) + \cdots + \text{último bloco até }2^{m}.úé
Em cada bloco que vai de 2^{k-1}+1 até 2^{k} (para k\ge 1) há 2^{k-1} termos, e cada termo desse bloco é pelo menos \dfrac{1}{2^{k}}. Logo a soma do bloco é pelo menos
2^{k-1}\cdot\frac{1}{2^{k}}=\frac{1}{2}.
Somando os primeiros m blocos (até 2^{m}) obtemos
S_{2^{m}} \ge 1 + \underbrace{\frac{1}{2}}_{\text{segundo bloco}} + \underbrace{\frac{1}{2}}_{\text{terceiro bloco}} + \cdots + \underbrace{\frac{1}{2}}_{\text{m-ésimo bloco}} = 1 + \frac{m}{2}.é
Como m é arbitrariamente grande quando n\to\infty, os S_{2^{m}} ficam arbitrariamente grandes; portanto as somas parciais não são limitadas e a série diverge.
(Outra explicação possível: pelo teste da integral, \int_{1}^{\infty}\dfrac{1}{x}\,dx=\infty, logo a série diverge. Aqui usei o argumento por blocos que é mais elementar.)

Passo 5

Dado que a série harmônica \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n} diverge e que a série original é exatamente a série harmônica (veja passo 2–3), concluímos que a série dada diverge.
Força aí — a simplificação foi bonita: o termo parecia complicado, mas cancelou direitinho e deu a harmônica, que a gente já conhece bem.

Resposta

A série diverge (é a série harmônica \sum_{n=1}^{\infty}\tfrac{1}{n}).

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