Em cada bloco que vai de 2^{k-1}+1 até 2^{k} (para k\ge 1) há 2^{k-1} termos, e cada termo desse bloco é pelo menos \dfrac{1}{2^{k}}. Logo a soma do bloco é pelo menos
Como m é arbitrariamente grande quando n\to\infty, os S_{2^{m}} ficam arbitrariamente grandes; portanto as somas parciais não são limitadas e a série diverge.
(Outra explicação possível: pelo teste da integral, \int_{1}^{\infty}\dfrac{1}{x}\,dx=\infty, logo a série diverge. Aqui usei o argumento por blocos que é mais elementar.)
Passo 5
Dado que a série harmônica \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n} diverge e que a série original é exatamente a série harmônica (veja passo 2–3), concluímos que a série dada diverge.
Força aí — a simplificação foi bonita: o termo parecia complicado, mas cancelou direitinho e deu a harmônica, que a gente já conhece bem.
Resposta
A série diverge (é a série harmônica \sum_{n=1}^{\infty}\tfrac{1}{n}).