Determine se as séries abaixo convergem ou divergem. E, se possível, exiba sua soma.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente tem que determinar se a série
converge ou diverge. E, se der, também vamos tentar encontrar a soma dessa série. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries alternadas e testes de convergência. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender que essa é uma série alternada porque o termo
faz com que os sinais dos termos mudem de positivo para negativo e vice-versa conforme
aumenta. Para verificar se uma série alternada converge, podemos usar o Teste da Série Alternada.
Esse teste diz que uma série alternada da forma
converge se duas condições forem satisfeitas:
- Os termos
são positivos. - Os termos
estão diminuindo e tendem a zero conforme aumenta.
No nosso caso,
, que é sempre positivo.
Passo 3
Vamos ver se
está diminuindo e se tende a zero. Para isso, observamos:
Isso porque, embora
cresça,
cresce muito mais rápido, fazendo com que a fração tenda a zero.
Além disso, a sequência
está diminuindo porque, à medida que
aumenta, o denominador
cresce exponencialmente, tornando
menor.
Então, as duas condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas, o que nos diz que a série converge.
Passo 4
Agora que sabemos que a série converge, vamos tentar encontrar a soma dela. Para isso, vamos separar a série em duas partes para facilitar:
Agora temos duas séries para somar: uma com
e outra com
.
Passo 5
Vamos primeiro resolver a segunda série, que é mais simples:
Essa é uma série geométrica alternada. A soma de uma série geométrica alternada
é dada por:
No nosso caso,
, então:
Passo 6
Agora, vamos resolver a primeira série:
Para isso, usamos uma técnica envolvendo derivadas de séries geométricas. Sabemos que:
Derivando ambos os lados em relação a
:
Multiplicando por
:
Agora, substituímos
por
(porque temos a alternância de sinais):
Como nossa série original tem
, que é igual a
, multiplicamos por
:
Resposta
A série
converge e sua soma é:
Então, a soma da série é
.