Determine se as séries abaixo convergem ou divergem. E, se possível, exiba sua soma.
sumn=1^infty(-1)^n+1 n+15^n

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente tem que determinar se a série
sumn=1^infty (-1)^n+1 n+15^n
converge ou diverge. E, se der, também vamos tentar encontrar a soma dessa série. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries alternadas e testes de convergência. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender que essa é uma série alternada porque o termo (-1)^n+1 faz com que os sinais dos termos mudem de positivo para negativo e vice-versa conforme n aumenta. Para verificar se uma série alternada converge, podemos usar o Teste da Série Alternada.
Esse teste diz que uma série alternada da forma sum (-1)^n an converge se duas condições forem satisfeitas:
  1. Os termos an são positivos.
  2. Os termos an estão diminuindo e tendem a zero conforme n aumenta.
No nosso caso, an = n+15^n, que é sempre positivo.

Passo 3

Vamos ver se an está diminuindo e se tende a zero. Para isso, observamos:
limn to infty n+15^n = 0
Isso porque, embora n+1 cresça, 5^n cresce muito mais rápido, fazendo com que a fração tenda a zero.
Além disso, a sequência an está diminuindo porque, à medida que n aumenta, o denominador 5^n cresce exponencialmente, tornando an menor.
Então, as duas condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas, o que nos diz que a série converge.

Passo 4

Agora que sabemos que a série converge, vamos tentar encontrar a soma dela. Para isso, vamos separar a série em duas partes para facilitar:
sumn=1^infty (-1)^n+1 n+15^n = sumn=1^infty (-1)^n+1 n5^n + sumn=1^infty (-1)^n+1 15^n
Agora temos duas séries para somar: uma com n5^n e outra com 15^n.

Passo 5

Vamos primeiro resolver a segunda série, que é mais simples:
sumn=1^infty (-1)^n+1 15^n
Essa é uma série geométrica alternada. A soma de uma série geométrica alternada sumn=1^infty (-1)^n+1 r^n é dada por:
r1 + r
No nosso caso, r = 15, então:
sumn=1^infty (-1)^n+1 15^n = 151 + 15 = 1565 = 16

Passo 6

Agora, vamos resolver a primeira série:
sumn=1^infty (-1)^n+1 n5^n
Para isso, usamos uma técnica envolvendo derivadas de séries geométricas. Sabemos que:
sumn=0^infty x^n = 11 - x para |x| < 1
Derivando ambos os lados em relação a x:
sumn=1^infty n x^n-1 = 1(1 - x)^2
Multiplicando por x:
sumn=1^infty n x^n = x(1 - x)^2
Agora, substituímos x por -15 (porque temos a alternância de sinais):
sumn=1^infty n (-15)^n = -15(1 + 15)^2 = -15(65)^2 = -153625 = -536
Como nossa série original tem (-1)^n+1, que é igual a -(-1)^n, multiplicamos por -1:
sumn=1^infty (-1)^n+1 n5^n = 536

Resposta

A série
sumn=1^infty (-1)^n+1 n+15^n
converge e sua soma é:
536 + 16 = 536 + 636 = 1136
Então, a soma da série é 1136.

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