Determine se as séries abaixo convergem ou divergem. E, se possível, exiba sua soma.
sumn=1^infty 6 cdot 10^n-nn!

Passo 1

O enunciado pede para determinar a convergência da série
sumn=1^infty 6cdot 10^n - nn!
e, se possível, encontrar sua soma. Vamos usar séries de potências que geram o exponencial para avaliar e testar convergência.

Passo 2

Separamos a soma em duas partes mais simples:
sumn=1^infty 6cdot 10^n - nn! = 6 sumn=1^infty 10^nn! ;-; sumn=1^infty nn!

Passo 3

Para a primeira série, usamos a expansão conhecida
sumn=0^infty 10^nn! = e^10
Como queremos a soma de n=1 em diante, subtraímos o termo n=0:
sumn=1^infty 10^nn! = e^10 - 1

Passo 4

Para a segunda série, usamos a identidade
sumn=0^infty n,x^nn! = x,e^x
Tomando x=1, obtemos
sumn=1^infty nn! = 1 cdot e^1 = e

Passo 5

Substituindo esses resultados em

Passo 6

sumn=1^infty 6cdot 10^n - nn! = 6l(e^10-1r) ;-; e = 6e^10 - 6 - e
Como obtemos uma soma finita, a série converge absolutamente.

Resposta

A série converge e
sumn=1^infty 6cdot 10^n - nn! = 6e^10 - e - 6

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