Determine se as séries abaixo convergem ou divergem. E, se possível, exiba sua soma.
sumn=1^infty(-1)^n+1 n 3^2 n5^n-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar se a série infinita abaixo converge ou diverge, e se der, mostrar a soma dela:
sumn=1^infty(-1)^n+1 n cdot 3^2n5^n-1
Essa é uma série alternada porque tem o termo (-1)^n+1, que faz os sinais alternarem entre positivo e negativo. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre séries alternadas e os testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão geral da série para facilitar a análise.
Observe que 3^2n = (3^2)^n = 9^n e 5^n-1 = 5^n5. Então, podemos reescrever o termo geral da série assim:
n cdot 9^n5^n5 = n cdot 9^n cdot 55^n = 5n (95)^n
Portanto, nossa série fica:
sumn=1^infty (-1)^n+1 cdot 5n (95)^n

Passo 3

Agora, vamos analisar a convergência da série. Temos uma série alternada, então podemos usar o Teste da Série Alternada (ou Critério de Leibniz), que diz que uma série da forma sum (-1)^n an converge se:
  1. Os termos an são positivos.
  2. an é uma sequência decrescente.
  3. limn to infty an = 0.
No nosso caso, os termos são:
an = 5n (95)^n
Vamos verificar esses pontos:
  1. Positividade: an é positivo para todo n.
  2. Decrescimento: Vamos ver se an diminui conforme n aumenta.
  3. Limite: Calculamos limn to infty an.

Passo 4

Calculando o limite:
limn to infty 5n (95)^n
Note que 95 > 1, então (95)^n cresce exponencialmente à medida que n aumenta. Mesmo multiplicado por n, que cresce linearmente, o termo an tende ao infinito:
limn to infty an = infty
Como o limite de an não é zero, o Teste da Série Alternada nos diz que a série não converge.

Resposta

A série diverge.

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