Determine se as séries abaixo convergem ou divergem. E, se possível, exiba sua soma.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar se a série infinita abaixo converge ou diverge, e se der, mostrar a soma dela:
Essa é uma série alternada porque tem o termo
, que faz os sinais alternarem entre positivo e negativo. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre séries alternadas e os testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão geral da série para facilitar a análise.
Observe que
e
. Então, podemos reescrever o termo geral da série assim:
Portanto, nossa série fica:
Passo 3
Agora, vamos analisar a convergência da série. Temos uma série alternada, então podemos usar o Teste da Série Alternada (ou Critério de Leibniz), que diz que uma série da forma
converge se:
- Os termos
são positivos. -
é uma sequência decrescente. -
.
No nosso caso, os termos são:
Vamos verificar esses pontos:
- Positividade:
é positivo para todo . - Decrescimento: Vamos ver se
diminui conforme aumenta. - Limite: Calculamos
.
Passo 4
Calculando o limite:
Note que
, então
cresce exponencialmente à medida que
aumenta. Mesmo multiplicado por
, que cresce linearmente, o termo
tende ao infinito:
Como o limite de
não é zero, o Teste da Série Alternada nos diz que a série não converge.
Resposta
A série diverge.