Vamos resolver a integral:
\iiint_{E} \frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}} d V
onde E é o sólido delimitado pela esfera:
x^{2}+y^{2}+z^{2}=16

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\iiint_{E}\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\,dV
onde E é a esfera de raio 4 centrada na origem. O conteúdo aqui envolve mudança para coordenadas esféricas e exploração da simetria angular para avaliar o integral.

Passo 2

Na coordenadas esféricas temos
x = \rho\sin\varphi\cos\theta, \quad y = \rho\sin\varphi\sin\theta, \quad z = \rho\cos\varphi,
o jacobiano é \rho^{2}\sin\varphi e \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=\rho. Assim o integrando vira
\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}} =\frac{\rho\sin\varphi\cos\theta}{\rho} =\sin\varphi\cos\theta,
e o elemento de volume é \rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 3

Escrevendo o integral em ordens de \theta, \varphi e \rho:
\iiint_{E}\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\,dV =\int_{0}^{4}\!\int_{0}^{\pi}\!\int_{0}^{2\pi} \bigl(\sin\varphi\cos\theta\bigr)\,\rho^{2}\sin\varphi \,d\theta\,d\varphi\,d\rho.
Isso se separa em
\Bigl(\int_{0}^{4}\rho^{2}\,d\rho\Bigr) \Bigl(\int_{0}^{\pi}\sin^{2}\varphi\,d\varphi\Bigr) \Bigl(\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta\Bigr).

Passo 4

O fator angular em \theta é
\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta = 0,
portanto toda a integral tripla se anula, independentemente dos outros fatores.

Resposta

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