Determine se as séries alternadas convergem absolutamente, condicionalmente ou divergem:
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{n}{n^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série alternada
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{n}{n^{2}+1}
e determinar se ela converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge. Vamos usar os testes de convergência absoluta e o critério de Leibniz para séries alternadas.

Passo 2

Estudamos primeiro a convergência absoluta, ou seja, a série
\sum_{n=1}^{\infty}\left|(-1)^{n}\,\frac{n}{n^{2}+1}\right| =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^{2}+1}.
Para n grande temos
\frac{n}{n^{2}+1}\sim\frac{n}{n^{2}}=\frac{1}{n}.
Como a série harmônica \sum1/n diverge, pela comparação ou pelo teste da comparação-limite, concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^{2}+1}
diverge. Logo, a série original não converge absolutamente.

Passo 3

Agora aplicamos o critério de Leibniz para convergência condicional de séries alternadas. Definimos
u_{n}=\frac{n}{n^{2}+1}.
Temos que verificar dois pontos:
  1. \lim_{n\to\infty}u_{n}=0, pois
\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n^{2}+1} =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+\tfrac1n}=0.
  1. A sequência (u_{n}) é eventualmente decrescente. Para isso, considere a função contínua
f(x)=\frac{x}{x^{2}+1},\quad x>0.
Sua derivada é
f'(x) =\frac{(x^{2}+1)-2x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}} =\frac{1-x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}},
que é negativa para x>1. Logo, para n\ge2, u_{n}=f(n) é decrescente.
Como u_{n}\to0 e u_{n} é decrescente a partir de certo n, o critério de Leibniz garante que
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}u_{n}
converge.

Resposta

A série converge condicionalmente.

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