Determine se as séries alternadas convergem absolutamente, condicionalmente ou divergem:
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\cos n}{n^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a convergência da série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{\cos n}{n^{2}}.
Vamos usar o teste de convergência absoluta: se \sum_{n=1}^{\infty}\bigl|a_{n}\bigr|
converge, então a série original converge absolutamente.

Passo 2

Calculemos a série dos módulos:
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl|\;(-1)^{n}\,\frac{\cos n}{n^{2}}\Bigr| =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{|\cos n|}{n^{2}}.
Como para todo n vale |\cos n|\le1, temos
\frac{|\cos n|}{n^{2}}\le\frac{1}{n^{2}}.
E a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}
é uma p-série com p=2>1, portanto converge.

Passo 3

Pelo teste da comparação, como \sum_{n=1}^{\infty}1/n^{2}
converge, segue que \sum_{n=1}^{\infty}|\cos n|/n^{2}
também converge. Logo a série original converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente.

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