Determine se as séries alternadas convergem absolutamente, condicionalmente ou divergem: \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\cos n}{n^{2}}
Passo 1
O enunciado pede para classificar a convergência da série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{\cos n}{n^{2}}.
Vamos usar o teste de convergência absoluta: se \sum_{n=1}^{\infty}\bigl|a_{n}\bigr|
converge, então a série original converge absolutamente.
E a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}
é uma p-série com p=2>1, portanto converge.
Passo 3
Pelo teste da comparação, como \sum_{n=1}^{\infty}1/n^{2}
converge, segue que \sum_{n=1}^{\infty}|\cos n|/n^{2}
também converge. Logo a série original converge absolutamente.