Use o Teste da Razão para determinar a convergência:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{10^{n}}{n!}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{10^{n}}{n!}
e determinar sua convergência usando o Teste da Razão. Vamos trabalhar com a_{n} = \frac{10^{n}}{n!}.

Passo 2

O Teste da Razão diz que, se existir
L = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|,
então:
  1. se L<1, a série converge absolutamente;
  2. se L>1, a série diverge;
  3. se L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos calcular a razão entre termos consecutivos:
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{\displaystyle\frac{10^{n+1}}{(n+1)!}}{\displaystyle\frac{10^{n}}{n!}} = \frac{10^{n+1}}{(n+1)!}\,\frac{n!}{10^{n}} = \frac{10}{n+1}.

Passo 4

Agora tomamos o limite quando n\to\infty:
L = \lim_{n\to\infty} \frac{10}{n+1} = 0.
Como 0<1, o Teste da Razão garante que a série converge absolutamente.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{10^{n}}{n!} converge (absolutamente) pelo Teste da Razão.

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