Use o Teste das Séries Alternadas para estimar a soma com um erro menor que 0,001 :
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{2^{n} n!}

Passo 1

O enunciado pede estimar a soma da série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{2^{n}n!}
com erro menor que 0,001. Vamos usar o Teste das Séries Alternadas (ou Teorema da Estimativa de Série Alternada), que garante que, para uma série alternada cujos termos em valor absoluto a_n são decrescentes e tendem a zero, o erro ao truncar após N termos é no máximo a_{N+1}.

Passo 2

Identificamos
a_n = \frac{1}{2^n\,n!}.
Note que a_n>0, que \{a_n\} é decrescente (pois 2^n n! cresce) e que \lim_{n\to\infty}a_n=0. Logo, podemos aplicar o teste e usar
\bigl|\,S - S_N\bigr|\le a_{N+1}.

Passo 3

Procuramos o menor N tal que
a_{N+1}=\frac{1}{2^{\,N+1}(N+1)!}<0,001.
Calculando alguns termos:
a_4=\frac{1}{2^4\cdot4!}=\frac{1}{16\cdot24}=\frac{1}{384}\approx0,00260>0,001,
a_5=\frac{1}{2^5\cdot5!}=\frac{1}{32\cdot120}=\frac{1}{3840}\approx0,00026<0,001.
Portanto N+1=5, isto é, basta truncar em N=4.

Passo 4

Agora calculamos a soma parcial
S_4=\sum_{n=1}^{4}(-1)^{n}\frac{1}{2^{n}n!} =-\frac12+\frac18-\frac1{48}+\frac1{384}.
Somando em um denominador comum 384:
-\frac{192}{384}+\frac{48}{384}-\frac{8}{384}+\frac{1}{384} =-\frac{151}{384}\approx-0,39323.

Resposta

A estimativa da soma é
S\approx -0,39323
com erro garantido menor que 0,001.

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