Use o Teste das Séries Alternadas para estimar a soma com um erro menor que 0,001 :
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{1}{n^{3}}

Passo 1

O enunciado pede para estimar a soma da série alternada
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n^{3}}
com erro menor que 0,001. O conteúdo aqui é o Teste das Séries Alternadas e o critério de resto para séries alternadas: se \{a_n\} é positiva, monótona decrescente e tende a zero, então o erro R_N ao truncar após N termos satisfaz
|R_N|\le a_{N+1}.

Passo 2

Identificamos a sequência de termos positivos
a_n = \frac{1}{n^3}.
Ela é claramente monótona decrescente para n\ge1 e \lim_{n\to\infty}a_n=0. Logo, pelo critério de resto, basta escolher N tal que
a_{N+1} = \frac{1}{(N+1)^3} < 0,001.

Passo 3

Resolvemos a desigualdade
\frac{1}{(N+1)^3}<0,001 \quad\Longleftrightarrow\quad (N+1)^3>1000 \quad\Longleftrightarrow\quad N+1>10 \quad\Longleftrightarrow\quad N\ge10.
Para garantir estrita inferioridade, tomamos N=10.

Passo 4

O valor aproximado é o somatório dos primeiros 10 termos:
S_{10}=\sum_{n=1}^{10}(-1)^{n-1}\frac{1}{n^3} =1-\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}-\cdots-\frac{1}{10^3}.
Calculando numericamente:
S_{10} \approx1-0,125+0,037037-0,015625+0,008-0,0046296+0,0029155-0,0019531+0,0013717-0,001 \approx0,901116.

Passo 5

Como |R_{10}|\le a_{11}=1/11^3\approx0,00075<0,001, o erro está satisfatoriamente controlado.

Resposta

A soma da série é aproximadamente
0,9011
com erro menor que 0,001.

Exercícios relacionados