Determine se as séries alternadas convergem absolutamente, condicionalmente ou divergem: \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{n}{n^{2}+1}
Passo 1
O enunciado pede para analisar a série alternada
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{n}{n^{2}+1}
e determinar se ela converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge. Vamos usar os testes de convergência absoluta e o critério de Leibniz para séries alternadas.
Passo 2
Estudamos primeiro a convergência absoluta, ou seja, a série