Use o Teste da Raiz:
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o Teste da Raiz na série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{n}{n+1}\Bigr)^{n^{2}}.
O conteúdo principal é o Teste da Raiz para séries numéricas, que usa o \sqrt[n]{|a_n|}.

Passo 2

O Teste da Raiz afirma que, para a_n real ou complexo, definimos
L = \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}.
Se L<1, a série \sum a_n converge absolutamente. Se L>1, diverge. Se L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 3

Aqui temos
a_n = \Bigl(\frac{n}{n+1}\Bigr)^{n^2}.
Logo
\sqrt[n]{a_n} = \biggl[\Bigl(\frac{n}{n+1}\Bigr)^{n^2}\biggr]^{1/n} = \Bigl(\frac{n}{n+1}\Bigr)^{n}.

Passo 4

Reescrevendo o termo:
\Bigl(\frac{n}{n+1}\Bigr)^{n} = \Bigl(\frac{1}{1+\frac1n}\Bigr)^{n} = \Bigl(1+\tfrac1n\Bigr)^{-n}.
Sabemos que
\lim_{n\to\infty}\Bigl(1+\tfrac1n\Bigr)^{n} = e,
então
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n} = \lim_{n\to\infty}\Bigl(1+\tfrac1n\Bigr)^{-n} = e^{-1}.

Passo 5

Como e^{-1} = \tfrac1e < 1, o Teste da Raiz garante que a série converge absolutamente, e portanto converge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{n}{n+1}\Bigr)^{n^{2}} converge (convergência absoluta pelo Teste da Raiz).

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