Determine se as séries convergem absolutamente, convergem ou divergem. Justifique suas respostas.
\sum_{n \geq 1} \frac{8 \arctan (n)}{1+n^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{8\,\arctan(n)}{1+n^{2}}
querendo saber se ela converge absolutamente, converge (mas não absolutamente) ou diverge. Vamos usar comparação assintótica com séries-p e o teste da comparação simples para séries de termos positivos.

Passo 2

Como \arctan(n) é positivo para n\ge1 e cresce até \pi/2, temos para todo n\ge1
0<\arctan(n)<\frac{\pi}{2}.
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0<\frac{8\,\arctan(n)}{1+n^{2}}<\frac{8\cdot (\pi/2)}{1+n^{2}} =\frac{4\pi}{1+n^{2}} \le\frac{4\pi}{n^{2}}.
Sabemos que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4\pi}{n^{2}} =4\pi\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}
converge (é uma série-p com p=2>1). Pelo teste da comparação simples, a série dada converge absolutamente.

Passo 3

Como os termos são todos não negativos, convergência absoluta implica convergência. Portanto a série converge e, mais fortemente, converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente.

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