Determine o valor da soma
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a soma da série infinita
O conteúdo principal é reconhecer que esse tipo de série pode ser resolvido por técnica de frações parciais, que leva a uma soma telescópica.
Passo 2
Primeiro, escrevemos o termo geral em frações parciais. Note que
então buscamos constantes
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos
Para todos
, isso implica o sistema
logo
Resolvendo,
. Assim,
Passo 3
Definimos a soma parcial até
:
Expandindo os primeiros termos, vemos o cancelamento telescópico:
Quase tudo se anula, sobrando
Passo 4
Para obter a soma da série infinita, tomamos o limite
. Como
, temos