Determine o valor da soma \sum_{n \geq 1} \frac{1}{4 n^{2}-1}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma da série infinita
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4n^{2}-1}.
O conteúdo principal é reconhecer que esse tipo de série pode ser resolvido por técnica de frações parciais, que leva a uma soma telescópica.

Passo 2

Primeiro, escrevemos o termo geral em frações parciais. Note que
4n^{2}-1=(2n-1)(2n+1),
então buscamos constantes A\) e \(B\) tais que \[\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{A}{2n-1}+\frac{B}{2n+1}.
Multiplicando ambos os lados por (2n-1)(2n+1), obtemos
1=A(2n+1)+B(2n-1).
Para todos n, isso implica o sistema
2n(A+B)+(A-B)=1,
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\begin{cases} A+B=0,\\\ A-B=1. \end{cases}
Resolvendo, A=\tfrac12\] e \(B=-\tfrac12. Assim,
\frac{1}{4n^{2}-1} =\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} =\frac12\Bigl(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\Bigr).

Passo 3

Definimos a soma parcial até N:
S_{N}=\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{4n^{2}-1} =\frac12\sum_{n=1}^{N}\Bigl(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\Bigr).
Expandindo os primeiros termos, vemos o cancelamento telescópico:
\frac{1}{1}-\frac{1}{3} +\frac{1}{3}-\frac{1}{5} +\frac{1}{5}-\frac{1}{7} +\cdots +\frac{1}{2N-1}-\frac{1}{2N+1}.
Quase tudo se anula, sobrando
S_{N}=\frac12\Bigl(1-\frac{1}{2N+1}\Bigr).

Passo 4

Para obter a soma da série infinita, tomamos o limite N\to\infty. Como
\frac{1}{2N+1}\to0, temos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{4n^{2}-1} =\lim_{N\to\infty}S_{N} =\frac12\bigl(1-0\bigr) =\frac12.

Resposta

\displaystyle \frac12

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