Seja
uma série convergente. Podemos dizer que a série dada por
seráconvergente?
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos uma série
convergente, o que implica
Queremos estudar a convergência da série
Passo 2
Como
, usamos a expansão de Taylor de
em torno de
:
Substituindo
obtemos
logo
Passo 3
Para analisar o termo geral
tomamos logaritmo:
Como
converge, temos
e também
(lema de Cesàro), o que implica
Logo
Passo 4
Como o termo geral
não tende a zero
, pelo teste da divergência a série
não pode convergir.
Resposta
A série
diverge.