Seja \sum_{n \geq 1} a_{n} uma série convergente. Podemos dizer que a série dada por \sum_{n \geq 1}\left(\frac{1+\cos \left(a_{n}\right)}{2}\right)^{n} seráconvergente?

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos uma série \sum_{n\ge1}a_{n} convergente, o que implica
\lim_{n\to\infty}a_{n}=0.
Queremos estudar a convergência da série
\sum_{n\ge1}\Bigl(\tfrac{1+\cos(a_{n})}{2}\Bigr)^{n}.

Passo 2

Como a_{n}\to0, usamos a expansão de Taylor de \cos(x) em torno de 0:
\cos(x)=1-\tfrac{x^{2}}{2}+o(x^{2})\quad(x\to0).
Substituindo x=a_{n} obtemos
\cos(a_{n})=1-\tfrac{a_{n}^{2}}{2}+o(a_{n}^{2}),
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c_{n}:=\frac{1+\cos(a_{n})}{2} =1-\frac{a_{n}^{2}}{4}+o(a_{n}^{2}).

Passo 3

Para analisar o termo geral
b_{n}=c_{n}^{n},
tomamos logaritmo:
\ln b_{n} =n\ln\bigl(1-\tfrac{a_{n}^{2}}{4}+o(a_{n}^{2})\bigr) \approx n\Bigl(-\tfrac{a_{n}^{2}}{4}+o(a_{n}^{2})\Bigr) =-\tfrac{n\,a_{n}^{2}}{4}+n\,o(a_{n}^{2}).
Como \sum a_{n} converge, temos a_{n}\to0 e também n\,a_{n}\to0 (lema de Cesàro), o que implica
n\,a_{n}^{2}=a_{n}\,(n\,a_{n})\;\longrightarrow\;0.
Logo
\ln b_{n}\longrightarrow0 \qquad\Longrightarrow\qquad b_{n}\longrightarrow1.

Passo 4

Como o termo geral b_{n} não tende a zero \lim b_{n}=1\neq0, pelo teste da divergência a série
\sum_{n\ge1}b_{n}
não pode convergir.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n\ge1}\Bigl(\tfrac{1+\cos(a_{n})}{2}\Bigr)^{n} diverge.

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