Determine se as séries convergem absolutamente, convergem ou divergem. Justifique suas respostas.
\sum_{n \geq 1}\left(1-\frac{1}{3 n}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(1-\frac{1}{3n}\Bigr)^{n}
Quanto ao seu comportamento (convergência absoluta, condicional ou divergência). O teste mais direto aqui é o teste do termo geral, que diz que, se \lim_{n\to\infty}a_{n}\neq0,
então a série \sum a_{n} diverge.

Passo 2

Calculamos
\lim_{n\to\infty}\Bigl(1-\frac{1}{3n}\Bigr)^{n}.
Como \displaystyle\lim_{m\to\infty}\bigl(1+\tfrac{x}{m}\bigr)^{m}=e^{x}, basta notar que aqui x=-\tfrac13 e m= n\cdot3. Mais diretamente, escrevemos
\Bigl(1-\tfrac{1}{3n}\Bigr)^{n} =\Bigl[\bigl(1-\tfrac{1}{3n}\bigr)^{3n}\Bigr]^{1/3} \longrightarrow (e^{-1})^{1/3} = e^{-\tfrac13}.

Passo 3

Vimos que
\lim_{n\to\infty}\Bigl(1-\frac{1}{3n}\Bigr)^{n} = e^{-\tfrac13}\neq0.
Pelo teste do termo geral, a série diverge. Como todos os termos são positivos, a questão de convergência absoluta é idêntica à de convergência simples: diverge.

Resposta

A série diverge.

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