Determine se as séries convergem absolutamente, convergem ou divergem. Justifique suas respostas.
\sum_{n \geq 1}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n^{2}}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n\ge1}\Bigl(\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}\Bigr)^{n}
converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge.
Conteúdo: testes de convergência de séries, em particular o teste da raiz para séries de termos reais.

Passo 2

Observamos que cada termo
a_{n}=\Bigl(\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}\Bigr)^{n}
é não negativo, logo \lvert a_{n}\rvert=a_{n}. Portanto basta testar a convergência absoluta: se a série dos a_{n} converge, então converge absolutamente (e, nesse caso, converge).

Passo 3

Aplicamos o teste da raiz: calculamos
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_{n}} =\lim_{n\to\infty}\Bigl(\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}\Bigr) =\lim_{n\to\infty}\frac{n-1}{n^2} =0.
Como esse limite é menor que 1, o teste da raiz garante que a série converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente.

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