Determine se as séries convergem absolutamente, convergem ou divergem. Justifique suas respostas.
\sum_{n \geq 1} \frac{n+1}{n!}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n+1}{n!}.
O conteúdo envolvido é teste de convergência de séries de termos positivos e, em particular, o teste da razão de D’Alembert para séries de termos não negativos.

Passo 2

Observamos que todos os termos
a_n = \frac{n+1}{n!}
são positivos, então convergência e convergência absoluta coincidem. Vamos aplicar o teste da razão, calculando
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{(n+1)+1}{(n+1)!}}{\frac{n+1}{n!}} = \frac{n+2}{(n+1)!}\cdot\frac{n!}{\,n+1\,} = \frac{n+2}{(n+1)(n+1)}.

Passo 3

Simplificando a expressão da razão, temos
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{n+2}{(n+1)^2}.
Ao levar n\to\infty, essa expressão tende a
\lim_{n\to\infty}\frac{n+2}{(n+1)^2} =\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n^2}\;=\;0.
Como esse limite é menor que 1, o teste da razão garante que a série converge absolutamente.

Passo 4

Conclusão: pelo teste da razão, a série converge absolutamente (e, portanto, converge).

Resposta

A série converge absolutamente.

Exercícios relacionados