Determine se as séries convergem absolutamente, convergem ou divergem. Justifique suas respostas.
\sum_{n \geq 0} \frac{(n+1) e^{-n}}{2 n+3}

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n\ge0}\frac{(n+1)e^{-n}}{2n+3}.
Trata-se de uma série de termos positivos, portanto convergência simples implica convergência absoluta. Para decidir se ela converge, vamos usar o teste da razão.

Passo 2

Definimos
a_{n}=\frac{(n+1)e^{-n}}{2n+3},
e calculamos a razão
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} =\frac{\displaystyle\frac{(n+2)e^{-(n+1)}}{2n+5}}{\displaystyle\frac{(n+1)e^{-n}}{2n+3}}.

Passo 3

Simplificando a expressão da razão, obtemos
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} =\frac{n+2}{n+1}\,\cdot\frac{2n+3}{2n+5}\,\cdot e^{-1}.
Agora tomamos limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{n+2}{n+1} =1, \quad \lim_{n\to\infty}\frac{2n+3}{2n+5} =1, \quad \text{logo} \quad \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}} =e^{-1}.

Passo 4

Como e^{-1}<1, o teste da razão garante que a série \sum a_{n} converge. E sendo todos os a_{n}>0, a convergência é, de fato, absoluta.

Resposta

A série converge absolutamente (e portanto converge).

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