Resolva as EDO’s utilizando Laplace e produto de convolução:
y^{\prime \prime}+y^{\prime}-6 y=x e^{2 x}

Passo 1

O problema pede para resolver a equação
y'' + y' - 6y = x e^{2x}
usando transformada de Laplace e o produto de convolução, assumindo as condições iniciais homogêneas
y(0)=0,\quad y'(0)=0.

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados, e usando
\mathcal{L}\{y''\}=s^2Y(s),
\mathcal{L}\{y'\}=sY(s),
\mathcal{L}\{y\}=Y(s) e \mathcal{L}\{x e^{2x}\}=\frac{1}{(s-2)^2}, obtemos
(s^2 + s - 6)\,Y(s) \;=\;\frac{1}{(s-2)^2} \quad\Longrightarrow\quad Y(s) \;=\;\frac{1}{(s-2)^2\,(s^2+s-6)}.

Passo 3

Fatorando s^2+s-6=(s-2)(s+3), fica
Y(s)=\frac{1}{(s-2)^3\,(s+3)} =\frac{1}{(s-2)^2}\;\cdot\;\frac{1}{(s-2)(s+3)}.
Pelo teorema da convolução,
y(x) =\Bigl(\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{(s-2)^2}\} * \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{(s-2)(s+3)}\}\Bigr)(x).

Passo 4

Calculamos as transformadas inversas separadamente:
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\tfrac{1}{(s-2)^2}\Bigr\}(x) =x\,e^{2x},
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\tfrac{1}{(s-2)(s+3)}\Bigr\}(x) =\frac{1}{5}\bigl(e^{2x}-e^{-3x}\bigr).
Logo definimos
f(x)=x e^{2x}, \quad g(x)=\frac{1}{5}\bigl(e^{2x}-e^{-3x}\bigr),
e
y(x)=(g*f)(x)=\int_{0}^{x}g(x-\tau)\,f(\tau)\,d\tau.

Passo 5

Escrevendo o convolução e simplificando o integrando:
y(x) =\int_{0}^{x}\frac{1}{5}\Bigl(e^{2(x-\tau)}-e^{-3(x-\tau)}\Bigr)\,\tau e^{2\tau}\,d\tau =\frac{1}{5}\int_{0}^{x}\bigl(\tau e^{2x}-\tau e^{-3x+5\tau}\bigr)\,d\tau.
Separamos em duas integrais:
\frac{1}{5}e^{2x}\int_{0}^{x}\tau\,d\tau -\frac{1}{5}e^{-3x}\int_{0}^{x}\tau e^{5\tau}\,d\tau.
Calculamos
\int_{0}^{x}\tau d\tau=\tfrac{x^2}{2} e
\int_{0}^{x}\tau e^{5\tau}d\tau =e^{5x}\bigl(\tfrac{x}{5}-\tfrac{1}{25}\bigr)+\tfrac{1}{25}.
Substituindo e simplificando chega-se a
y(x) =e^{2x}\Bigl(\frac{x^2}{10}-\frac{x}{25}+\frac{1}{125}\Bigr) -\frac{1}{125}e^{-3x}.

Resposta

\boxed{y(x)=e^{2x}\Bigl(\frac{x^{2}}{10}-\frac{x}{25}+\frac{1}{125}\Bigr)\;-\;\frac{1}{125}\,e^{-3x}.}

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