Resolva as EDO’s utilizando Laplace e produto de convolução:
y^{\prime \prime}+y^{\prime}-6 y=x e^{2 x}
y^{\prime \prime}+y^{\prime}-6 y=x e^{2 x}
Passo 1
O problema pede para resolver a equação
usando transformada de Laplace e o produto de convolução, assumindo as condições iniciais homogêneas
Passo 2
Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados, e usando
,
,
e
, obtemos
Passo 3
Fatorando
, fica
Pelo teorema da convolução,
Passo 4
Calculamos as transformadas inversas separadamente:
Logo definimos
e
Passo 5
Escrevendo o convolução e simplificando o integrando:
Separamos em duas integrais:
Calculamos
e
Substituindo e simplificando chega-se a
Substituindo e simplificando chega-se a