Exercício 10.8. Encontre a equação do plano tangente ao gráfico da função z(x, y) dada implicitamente por x y-z^{3} y x-z y+1=0, no ponto (2,1,1).
( Resposta: y+7 z=8)

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano tangente ao gráfico de uma função z(x,y) definida implicitamente pela relação
F(x,y,z) = x\,y - z^{3}y\,x - z\,y + 1 = 0
no ponto (2,1,1). O conteúdo que vamos usar é o cálculo do gradiente de F e a fórmula do plano tangente para uma superfície implícita:
F_x(x_0,y_0,z_0)\,(x - x_0) + F_y(x_0,y_0,z_0)\,(y - y_0) + F_z(x_0,y_0,z_0)\,(z - z_0) = 0.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de F:
F_x = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(xy - z^3\,y\,x - z\,y +1\bigr) = y - z^3\,y,
F_y = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(xy - z^3\,y\,x - z\,y +1\bigr) = x - z^3\,x - z,
F_z = \frac{\partial}{\partial z}\bigl(xy - z^3\,y\,x - z\,y +1\bigr) = -3\,z^2\,y\,x \;-\; y.

Passo 3

Avaliamo essas parciais no ponto (x_0,y_0,z_0)=(2,1,1):
F_x(2,1,1) = 1 - 1^3\cdot1 = 0,
F_y(2,1,1) = 2 - 1^3\cdot2 - 1 = -1,
F_z(2,1,1) = -3\cdot1^2\cdot1\cdot2 - 1 = -7.
Logo, o vetor normal ao plano tangente é \nabla F(2,1,1) = (0,\,-1,\,-7).

Passo 4

Substituímos na fórmula do plano:
0\,(x-2) + (-1)\,(y-1) + (-7)\,(z-1) = 0
que se expande para
-(y-1) -7\,(z-1) = 0 \quad\Longrightarrow\quad y + 7\,z - 8 = 0.

Resposta

y + 7\,z = 8

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