Determine se as séries convergem absolutamente, convergem ou divergem.
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\left(\frac{n}{10}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado nos dá a série alternada
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\Bigl(\frac{n}{10}\Bigr)^{n}
e pede para verificar se ela converge absolutamente, converge (condicionalmente) ou diverge. Vamos usar o teste da raiz para a convergência absoluta e o teste do termo geral para a convergência simples.

Passo 2

Para testar a convergência absoluta, consideramos
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl|\!(-1)^{n+1}\Bigl(\frac{n}{10}\Bigr)^{n}\Bigr| = \sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{n}{10}\Bigr)^{n}.
Aplicando o teste da raiz, calculamos
L = \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\Bigl(\frac{n}{10}\Bigr)^{n}} = \lim_{n\to\infty}\frac{n}{10} = +\infty.
Como L>1, a série dos módulos diverge. Logo, a série original não converge absolutamente.

Passo 3

Para verificar a convergência simples, basta checar o limite do termo geral
a_n = (-1)^{n+1}\Bigl(\frac{n}{10}\Bigr)^{n}.
Note que
\lim_{n\to\infty}\Bigl(\frac{n}{10}\Bigr)^{n} = +\infty,
então \lim_{n\to\infty}a_n nem sequer é zero. Pelo teste do termo geral, se o termo não tende a zero, a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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