Determine se as séries convergem absolutamente, convergem ou divergem.
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\left(\frac{4}{(\ln n)^{2}}\right)

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{4}{(\ln n)^{2}}.
Note que em n=1 temos \ln1=0, então o termo n=1 não está definido. Vamos assumir que a soma efetivamente começa em n=2.
Conteúdo: testes de convergência absoluta e teste de Leibniz para séries alternantes.

Passo 2

Verificamos a convergência absoluta analisando
\sum_{n=2}^{\infty}\left|\;(-1)^{n}\,\frac{4}{(\ln n)^{2}}\right| =\;4\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{(\ln n)^{2}}.
Como \frac{1}{(\ln n)^{2}} é positiva e monotonamente decrescente para n grande, podemos aplicar o teste de condensação de Cauchy: definindo a_{n}=1/(\ln n)^{2}, temos
\sum_{n=2}^{\infty}a_{n}\quad\text{converge ou diverge conforme}\quad \sum_{k=1}^{\infty}2^{k}a_{2^{k}} =\sum_{k=1}^{\infty}2^{k}\,\frac{1}{\bigl(\ln(2^{k})\bigr)^{2}} =\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2^{k}}{(k\ln2)^{2}}.
Como \dfrac{2^{k}}{(k\ln2)^{2}} cresce geometricamente \lim_{k\to\infty}2^{k}/(k\ln2)^{2}=\infty, essa série diverge. Logo
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{(\ln n)^{2}}\quad\text{diverge} \quad\Longrightarrow\quad \sum_{n=2}^{\infty}\frac{4}{(\ln n)^{2}}\quad\text{diverge},
e a série original não converge absolutamente.

Passo 3

Agora aplicamos o teste de Leibniz para séries alternantes. Definimos
b_{n}=\frac{4}{(\ln n)^{2}},\quad b_{n}>0.
  1. \displaystyle\lim_{n\to\infty}b_{n} =\lim_{n\to\infty}\frac{4}{(\ln n)^{2}}=0.
  2. Para n suficientemente grande, b_{n} é decrescente porque a função x\mapsto(\ln x)^{-2} tem derivada negativa em x>e.
    Pelas condições do teste de Leibniz, a série alternante
\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n}b_{n}
converge.

Resposta

A série converge condicionalmente (converge mas não converge absolutamente).

Exercícios relacionados