Quais séries convergem? E quais divergem?
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{n^{2}+1}\right)

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série de termos positivos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^{2}+1}.
O conteúdo principal aqui é testar convergência de séries pelo Teste da Comparação Limite ou pelo teste da série-p.

Passo 2

Observamos que, para n grande, o termo geral
a_{n}=\frac{n}{n^{2}+1}
comporta-se como
\frac{n}{n^{2}}=\frac{1}{n},
isto é, asymptoticamente a_{n}\sim1/n. A série de referência é a série harmônica
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n},
que sabemos divergir.

Passo 3

Aplicamos o Teste da Comparação Limite entre a_{n} e b_{n}=1/n. Calculamos
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{\tfrac{n}{n^{2}+1}}{\tfrac{1}{n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}}{n^{2}+1} =1.
Como 0<L<\infty, as duas séries convergem ou divergem juntas.

Passo 4

Sabendo que \sum 1/n diverge (é a série harmônica), concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^{2}+1}
também diverge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^{2}+1} diverge.

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