Determine se as séries convergem absolutamente, convergem ou divergem.
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\left(\frac{n}{n^{2}+1}\right)

Passo 1

O enunciado pede para estudar a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{n}{n^{2}+1}
usando conceitos de convergência absoluta e teste de série alternada (critérios de comparação e de Leibniz).

Passo 2

Teste de convergência absoluta. Considere
\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{n}{n^{2}+1}\right|.
Para n\ge1 temos
n^{2}+1\le2n^{2}\quad\Longrightarrow\quad\frac{n}{n^{2}+1}\ge\frac{n}{2n^{2}}=\frac{1}{2n}.
Como \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n} diverge (série harmônica), a série de termos absolutos também diverge, logo não há convergência absoluta.

Passo 3

Teste da série alternada (critério de Leibniz). Defina
a_{n}=\frac{n}{n^{2}+1}.
Vê-se que a_{n}>0, que
\lim_{n\to\infty}a_{n}=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n^{2}+1}=0,
e que a_{n} é decrescente para n\ge2, pois a função f(x)=x/(x^{2}+1) tem derivada
f'(x)=\frac{1-x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}<0\quad\text{para }x>1.
Logo todos os requisitos do teste de Leibniz estão satisfeitos, implicando convergência da série alternada.

Passo 4

Como a série não converge absolutamente, mas converge pelo critério de Leibniz, concluímos que ela converge condicionalmente.

Resposta

A série converge condicionalmente (converge, mas não converge absolutamente).

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